Sabtu, 08 Mei 2010
Jumat, 07 Mei 2010
Gradien
Tempat kedudukan titik-titik (x,y) sehingga terdapat hubungan linier
ax + by + c = 0 merupakan suatu garis lurus
Bentuk ax + by +c = 0 (implisit) dapat ditulis dalam bentuk
y = mx + n (eksplisit)
dengan m = -a/b dan n = -c/b ; (b ¹ 0)
Ket : nilai m dan n ini mempunyai arti penting dalam menentukan grafik garis lurus.
m disebut koefisien arah (gradien) garis
m = tan a , dimana a adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif (berlawanan arah dengan jarum jam)
0° < a < 90° ® tan a = + |
90° < a < 180° ® tan a = - |
n = panjangan potongan terhadap sumbu y dihitung dari pusat sumbu koordinat
Hal Khusus
FUNGSI ASAL | FUNGSI INVERS |
f(x) = ax+b ; a ¹ 0 | f-1(x) = (x-b)/a ; a ¹ 0 |
f(x) = (ax+b)/(cx+d) ; x ¹ -d/c | f-1(x) = (-dx+b)/(cx-a) ; x ¹ a/c |
f(x) = ax² + bx + c ; a ¹ 0 | f-1(x) = (-b+Ö(b²-4a(c-x))/2a ; a ¹ 0 |
f(x) = a log cx ; a > 0 ¹ 1 ; cx>0 | f-1(x) = ax/c ; c ¹ 0 |
f(x) = acx ; a > 0 ¹ 1 | f-1(x) = alog x1/c = 1/c alog x ; c¹0 |
Keterangan : fungsi invers ini ada, jika syarat-syaratnya terpenuhi
Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika daerah definisinya dibatasi.
f(x) = x² untuk X > 0 ® f-1(x) = Öx untuk X > 0Fungsi Komposisi Dan Invers
(g o f)-1 (x) = (f-1 o g-1)(x)
contoh:
Tentukan grafik di bawah ini mempunyai invers/tidak ! Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers Diketahui f: R ® R Diketahui f: A ® B
CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK
f(x) = 2x - 3
Tentukan f-1 (x) !
Jawab:
f one one onto
sehingga f mempunyai invers
misalkan y = image dari x
y = f(x)
y = 2x-3 (yang berarti x = f-1(y))
x = (y+3)/2
f-1(x) = (x+3)/2
f(x) = (x - 2)/(x - 3)
dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-1}}
(baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33)
Tentukan f-1(x)
Jawab:
y = (x - 2)/(x - 3)
y(x - 3) = x - 2
yx - 3y = x - 2
x(y - 1) = 3y - 2
x = (3y - 2)/(y - 1) ® f-1(x) = (3x - 2)/(x - 1)
Fungsi Invers
f : A ® B Bila b Î B, maka invers dari elemen b (dinyatakan dengan f-1 (b)) adalah elemen A yang mempunyai pasangan b, atau f-1 (b) = {x ½ x Î A, f(x) = b} Jika f adalah fungsi dari A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 :A ® B jika dan hanya jika f adalah one one onto / bijektif / korespondensi 1-1
TEOREMA f-1 o f : A ® A : fungsi indentitas di A f o f-1 : B ® B : fungsi identitas di B |
Komposisi Fungsi
Didapat fungsi baru (g o f) : A ® C
yang disebut komposisi fungsi dari f dan g
h = g o f
(g o f) (x) = g (f (x))
® yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu
ket : image f merupakan domain bagi g.
contoh:
1. f:A ® B; g:B ® C
(g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t
(g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r
(g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t
2. f: R ® R ; f(x) = x²
g: R ® R ; g(x) = x + 3 R=riil
maka
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3
Bila x=2, maka
(f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7
3. Diketahui [rumus]
jika (f o g)(x) = x²
Tentukan g(x) !
jawab:
[rumus]
SIFAT
Bila f : A ® B; g : B ® C ; h : C ® D
maka
(f o g) ¹ (g o f) : tidak komutatif
(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif
Jenis Fungsi
ONE ONE (INJEKTIF) Tidak ada dua elemen yang berlainan di A, yang mempunyai pasangan yang sama di B. | |
ONTO (SURJEKTIF) | |
ONE-ONE (BIJEKTIF)/KORESPONDENSI 1-1 |
Bila V = {-2,-1,0,1,2} Tentukan domain dan range dari y = Ö(x - 1)
Tarik sembarang garis lurus sejajar sumbu y. Bila hanya memotong di satu titik pada grafik, maka grafik tersebut merupakan fungsi. Bila tidak demikian maka grafik tersebut bukan merupakan fungsi.
g : V ® R; R = riil
g(x) = x² + 1
Tentukan range !!!
Jawab:
Domain = {-2, -1, 0, 1, 2}
Image dari g adalah :
g(-2) = 5
g(-1) = 2
g(0) = 1
g(1) = 2
g(2) = 5
maka range = {1, 2, 5}
syarat : (x - 1) ³ 0
Jawab :
D = { x ½ x ³ 1}
R = { y ½ y ³ 0}
Jawab:
Domain : f(x) = x²
-1 £ x £ 4
0 £ x £ 16
0 £ y £ 16
Range : [0, 16]
Fungsi
ditulis f : A ® B
ditulis f(a) = b
range = f(A)
Relasi
Hubungan/relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.
A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:
- Himpunan A
- Himpunan B
- Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
Dimana x bersesuaian dengan a Î A dengan y bersesuaian dengan b Î B.
® Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
® Bila tidak demikian maka a R b
- Himpunan Pasangan Berurutan (a,b)
- Kalimat terbuka P(x,y)
- Diagram cartesius ( diagram A x B )
- Diagram panah
® bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:
R = {(a,b) ½ a Î A; b Î B; P(a,b) adalah betul}
Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi di dalam A.
contoh :
R = (A,B, P(x,y))
A = {2,3,4}
B = {3,4,5,6}
P(x,y) menyatakan x pembagi y
Himpunan penyelesaian relasi ini adalah
a. Himpunan pasangan berurutan
R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}
Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai
R-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}
contoh:
A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A
DOMAIN DAN RANGE
Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R.
Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }
Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R.
Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}
contoh:
A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}
Jenis Pertidaksamaan
A. PERTIDAKSAMAAN LINIER (PANGKAT SATU)
Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x.
Penyelesaian:
Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.
Contoh :
2x - 3 > 5 ® 2x > 5 + 3
ijgeiirjirijrigir j 2x > 8 gehghhejehh2x > 2 | gambar |
B. PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL (BENTUK AKAR)
Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda akar.
Penyelesaian:
(Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas kanan; bila ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas kanan atau sebaliknya).
(tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan positif).
syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non negatif (³ 0)...(2)
(pembicaraan adalah mengenai bilangan riil)
Contoh:
1. Ö(x-2) < style="font-family:Symbol;">® kuadratkan
2 £ x <> | 2. Ö(-x + 3) - Ö(2x + 1) > 0
-1/2 £ x <> |
C. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT (PANGKAT DUA)
Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya :
ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a ¹ 0.
Penyelesaian:
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan <>
contoh:
x² + x - 2 > 0
(x + 2) (x - 1) > 0
x < -2 atau x > 1
D. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN
Yaitu pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.
Penyelesaian:
- Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak) - Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
- Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan ¹ 0
contoh :
-8 £ x <1
(2x + 7)/(x - 1) £ 1
(2x + 7)/(x - 1) - 1 £ 0
(2x + 7)/(x - 1) - (x - 1)/(x - 1) £ 0 ® (x + 8)/(x - 1) £ 0
syarat : penyebut (x-1) ¹ 0
x ¹ 1
E. PERTIDAKSAMAAN DERAJAT TINGGI (Derajat > 3)
Penyelesaian:
Bila ada bentuk kuadrat yang definit negatif ( D <> dapat dihilangkan asal tanda pertidaksamaannya berubah.
contoh:
- (x - 1/2) (x² - 3x - 4) (x² - 6x + 9) <><>
- (3x² + x + 2)/(x² + 4x - 12) > 0
Bentuk (3X² + X + 2) adalah definit (selalu bernilai) positif, karena:
D = (1)² - 4(3)(2) = -23 dan a = 3
D <> 0
Sehingga (3x² + x + 2) dapat dihilangkan, soal menjadi
(+)/(X² + 4X - 12) > 0 ® (+)/(X + 6) (X - 2) > 0
X < -6 atau X > 2
F. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Yaitu pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak.
Batasan : |x| = x jika x > 0
0 jika x = 0
-x jika x < style="font-family:Symbol;">³ 0
masalah : menghilangkan tanda mutlak.
Penyelesaian:
Untuk a > 0
½x½< a « -a <> | ½x½ > a « x < -a atau x > a | ½x½ = a « x = ±a |
secara umum:
menghilangkan tanda mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas
atau
|x| < style="font-family:Symbol;">® x² < face="Symbol">® x² - a² < face="Symbol">® (x-a)(x+a) < face="Symbol">® -a <>
|x| > a ® x² > a² ® x² - a² > 0 ® (x-a)(x+a) > 0 ® x<-a atau x>a
keterangan:
|x| < -a TM |x| > -a "x
|a/b| < face="Symbol">« |a| <>
Cara Menentukan Penyelesaian Beberapa Garis Bilangan
Andaikan a <>
| |
contoh :
1. UNTUK BATAS TUNGGAL
f(x) = (x - a) (x - b)
f(x) <> 0 untuk x <> b
HAL KHUSUS | |
Bila koefisien x² adalah (+), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut: (+) | (-) | (+)
| Bila koefisien x² adalah (-), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut : (-) | (+) | (-)
|
2. UNTUK BATAS RANGKAP
f(x) = (x - a)² (x - b) | f(x) = (x - a) (x - b)² |
(-) || - | (+) a b | (-) | - || (+) a b |
f(x) <> ¹ a f(x) > 0 untuk x > b | f(x) <> a ; x ¹ b |
Ket :
bila melewati batas tunggal (rangkap ganjil) maka tanda pada interval berikutnya berubah, bila melewati batas rangkap genap maka tanda pada interval berikutnya tetap.
Garis Bilangan
Dipergunakan untuk mengetahui nilai (+/-) suatu fungsi pada interval tertentu.
Batas pada garis bilangan didapat dari harga nol fungsi (angka yang menjadikan fungsi bernilai 0), sehingga fungsi bernilai nol pada batas tersebut, dan bernilai (+/-) pada interval lainnya.
Untuk menentukan nilai (+/-) suatu fungsi dalam suatu interval, langkah pertama adalah mencari nilai nolnya sebagai batas interval pada garis bilangan, kemudian substitusi sembarang bilangan yang mewakili suatu interval.
Untuk memudahkan mengetahui daerah (+/-) biasanya dicek angka 0 atau daerah yang diuji adalah daerah paling kanan (bilangan besar sekali) sehingga tanda (+/-) cukup dengan melihat hasil perkalian/pembagian tanda dari koefisien variabel.
Bila hasil substitusi tersebut bernilai positif maka interval di mana bilangan itu berada adalah juga bernilai positif, bila hasil substitusi tersebut bernilai negatif maka interval di mana bilangan itu berada juga bernilai negatif.
Sifat Pertidaksamaan
Antara dua bilangan a dan b terdapat hubungan :
a > b ; a = b atau a <> |
- a > b ® a - b > 0
a = b ® a - b = 0
a < face="Symbol">® a - b <>prinsip: nilai bilangan harus jelas positif, nol atau negatif
- a + b < face="Symbol">® a + b - c <>atau
c-a-b>0
- Ditambah/Dikurangi dengan bilangan yang sama
a <> ® { a + c <> a - c <>
- Dikali/Dibagi dengan bilangan positif yang sama
a <> } ® { ac <> c > 0 a/c <>
Tanda tetap
-
Dikali/dibagi dengan bilangan negatif yang sama
a <> } ® { ad > bd TANDA BERUBAH d <> a/d > b/d
-
Pangkat Genap
a > 0 ; b > 0 } ® a² <>TANDA TETAP a <>
a <> } ® a² > b² TANDA BERUBAH a <>
-
Pangkat Ganjil
a < face="Symbol">® { a³ <> ® TANDA TETAP a5 <>5 a7 <>7
-
Kebalikan
a > 0 ; b > 0 } ® 1/a > 1/b TANDA BERUBAH a <>
a <> } ® 1/a > 1/b TANDA BERUBAH a <>
Menyusun Persamaan Kuadrat
KEDUA AKARNYA KUADRAT
Andaikan akar-akarnya X1 dan X2
1. Mengisikan akar-akarnya kedalam bentuk (X - X1)(X - X2) = 0
2. Menggunakan sifat akar X² - (X1+X2)X + X1 . X2 = 0
KEDUA AKARNYA MEMPUNYAI HUBUNGAN DENGAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT YANG DIKETAHUI
Andaikan X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat aX²+bX+c=0 yang diketahui
Andaikan y1 dan y2 adalah akar-akar persamaan kuadrat baru.
Langkah:
Cari terlebih dahulu nilai dari (y1 + y2) dan (y1 . y2) yang masing-masing merupakan fungsi dari (X1 + X2) atau (X1 . X2) dimana nilai dari (X1 + X2) dan (X1 . X2) didapat dari persamaan kuadrat yang diketahui.
Persamaan Kuadrat baru : y² - (y1 + y2)y + (y1 . y2) = 0
Akar-akar baru | Hubungan | PK Baru |
p lebihnya
| y = X + p
| a(y-p)² + b(y-p) + c =0
|
p kurangnya
| y = X - p
| a(y+p)² + b(y+p) + c = 0
|
p kali
| y = pX
| a(y/p)²+b(y/p)+c=0
|
kebalikannya
| y=1/X
| a(y/p)² + b(1/y) + c = 0
|
kuadratnya
| y = X²
| a(Öy)² + b(Öy) + c = 0
|
BenBentuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.
Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau (X1.X2)
1. X1² + X2² | = (X1 + X2)² - 2X1.X2
|
2. X1³ + X2³ | = (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2)
|
3. X14 + X24 | = (X1²+X2²)² -(X1²X2²)
|
4. X1²X2 + X1X2² | = X1X2(X1+X2)
|
5. 1/X1 + 1/X2 | = (X1+X2)/X1+X2
|
6. X1/X2 + X2/X1 | = (X1²+X2²)/X1X2
|
7. (X1-X2)² | = (X1+X2)² - 4X1X2 atau [ÖD/a]² = D/a²
|
8. X1² - X1² | = (X1+X2)(X1-X2) = (-b/a)(ÖD/a) |
Bedakan Istilah
Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²)
dengan
Kuadrat Jumlah (X1+X2)²
Perluasan untuk akar nyata
Maksudnya : X1 = -X2
syarat : D > 0
X1 + X2 = 0 ® b = 0
Ket: X1 + X2 = 0 ® -b/a = 0 ® b = 0
Maksudnya : X1 = 1/X2
syarat : D ³ 0
X1 . X2 = 1 ® a = c
Ket: X1 . X2 = 1 ® c/a = 1 ® a = c
Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0
syarat : D ³ 0
X1 + X2 > 0
X1 . X2 > 0
maksudnya : X1 <>
syarat: D ³ 0
X1 + X2 <> 0
Maksudnya : X1 > 0 ; X2 <>
syarat : D > 0
X1 . X2 <>Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2 tandanya tidak pasti
Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk Ö
syarat : D = bentuk kuadrat
D = (0,1,4,9,16,25...)
Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda Ö , sehingga X1 dan X2 rasional