Roda Belajar: 2010

Sabtu, 08 Mei 2010

Jumat, 07 Mei 2010

Gradien

Tempat kedudukan titik-titik (x,y) sehingga terdapat hubungan linier
ax + by + c = 0 merupakan suatu garis lurus

Bentuk ax + by +c = 0 (implisit) dapat ditulis dalam bentuk

y = mx + n (eksplisit)

dengan m = -a/b dan n = -c/b ; (b ¹ 0)

Ket : nilai m dan n ini mempunyai arti penting dalam menentukan grafik garis lurus.

m disebut koefisien arah (gradien) garis

m = tan a , dimana a adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif (berlawanan arah dengan jarum jam)

0° < a < 90° ® tan a = +

90° < a < 180° ® tan a = -

n = panjangan potongan terhadap sumbu y dihitung dari pusat sumbu koordinat

Hal Khusus

FUNGSI ASAL	FUNGSI INVERS
f(x) = ax+b ; a ¹ 0	f^-1(x) = (x-b)/a ; a ¹ 0
f(x) = (ax+b)/(cx+d) ; x ¹ -d/c	f^-1(x) = (-dx+b)/(cx-a) ; x ¹ a/c
f(x) = ax² + bx + c ; a ¹ 0	f^-1(x) = (-b+Ö(b²-4a(c-x))/2a ; a ¹ 0
f(x) = ^a log cx ; a > 0 ¹ 1 ; cx>0	f^-1(x) = a^x/c ; c ¹ 0
f(x) = a^cx ; a > 0 ¹ 1	f^-1(x) =^alog x^1/c = 1/c ^alog x ; c¹0

Keterangan : fungsi invers ini ada, jika syarat-syaratnya terpenuhi

Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika daerah definisinya dibatasi.

f(x) = x² untuk X > 0 ® f^-1(x) = Öx untuk X > 0

Fungsi Komposisi Dan Invers

(g o f)^-1 (x) = (f^-1 o g^-1)(x)

contoh:

Tentukan diagram fungsi di bawah ini ada inversnya atau tidak
Tentukan grafik di bawah ini mempunyai invers/tidak !

CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK

Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers
Diketahui f: R ® R
f(x) = 2x - 3

Tentukan f^-1 (x) !

Jawab:

f one one onto
sehingga f mempunyai invers
misalkan y = image dari x
y = f(x)
y = 2x-3 (yang berarti x = f^{^-1}(y))
x = (y+3)/2
f^-1(x) = (x+3)/2
Diketahui f: A ® B
f(x) = (x - 2)/(x - 3)
dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-1}}
(baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33)

Tentukan f^-1(x)

Jawab:

y = (x - 2)/(x - 3)
y(x - 3) = x - 2
yx - 3y = x - 2
x(y - 1) = 3y - 2
x = (3y - 2)/(y - 1) ® f^-1(x) = (3x - 2)/(x - 1)

Fungsi Invers

f : A ® B

Bila b Î B, maka invers dari elemen b (dinyatakan dengan f^{^-1} (b)) adalah elemen A yang mempunyai pasangan b, atau

f^{^-1} (b) = {x ½ x Î A, f(x) = b}

Jika f adalah fungsi dari A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f^{^-1} :A ® B jika dan hanya jika f adalah one one onto / bijektif / korespondensi 1-1

ket :

f : y = f(x)

cara mencari fungsi invers

f^{^-1} : x = f(y) ® nyatakan x dalam y

TEOREMA
f : A ® B dan f^{^-1} : B ® A

f^{^-1} o f : A ® A : fungsi indentitas di A
f f^-1
A ® B ® A
(f^-1 o f)

f o f^{^-1} : B ® B : fungsi identitas di B
f^{-1 f}
B ® A ® B
(f o f^-1)

Komposisi Fungsi

anggap f : A ® B dan g : B ® C

Didapat fungsi baru (g o f) : A ® C
yang disebut komposisi fungsi dari f dan g

h = g o f
(g o f) (x) = g (f (x))

® yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu
ket : image f merupakan domain bagi g.

contoh:

1. f:A ® B; g:B ® C
(g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t
(g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r
(g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t

2. f: R ® R ; f(x) = x²
g: R ® R ; g(x) = x + 3 R=riil

maka
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3

Bila x=2, maka
(f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7

3. Diketahui [rumus]
jika (f o g)(x) = x²
Tentukan g(x) !
jawab:
[rumus]

SIFAT

Bila f : A ® B; g : B ® C ; h : C ® D

maka

(f o g) ¹ (g o f) : tidak komutatif
(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif

Jenis Fungsi

f : A ® B

ONE ONE (INJEKTIF) Tidak ada dua elemen yang berlainan di A, yang mempunyai pasangan yang sama di B.
ONTO (SURJEKTIF) Semua elemen di B merupakan peta dari elemen-elemen A (Range A = B atau f(A) = B)
ONE-ONE (BIJEKTIF)/KORESPONDENSI 1-1

CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK ADALAH FUNGSI ATAU BUKAN

Tarik sembarang garis lurus sejajar sumbu y. Bila hanya memotong di satu titik pada grafik, maka grafik tersebut merupakan fungsi. Bila tidak demikian maka grafik tersebut bukan merupakan fungsi.
Bila V = {-2,-1,0,1,2}
g : V ® R; R = riil
g(x) = x² + 1
Tentukan range !!!

Jawab:

Domain = {-2, -1, 0, 1, 2}
Image dari g adalah :
g(-2) = 5
g(-1) = 2
g(0) = 1
g(1) = 2
g(2) = 5

maka range = {1, 2, 5}
Tentukan domain dan range dari y = Ö(x - 1)
syarat : (x - 1) ³ 0

Jawab :

D = { x ½ x ³ 1}
R = { y ½ y ³ 0}
Tentukan range dari f(x) = x² pada domain [1, -4]

Jawab:

Domain : f(x) = x²
-1 £ x £ 4
0 £ x £ 16
0 £ y £ 16
Range : [0, 16]

Fungsi

uatu pemetaan / fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus sedemikian rupa sehingga, setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

ditulis f : A ® B

Himpunan A disebut DOMAIN fungsi, dan himpunan B disebut CODOMAIN fungsi.
Bila a Î A, maka b Î B yang menyatakan pasangan dari A, disebut image (peta) dari A.

ditulis f(a) = b
Kumpulan dari image-image a Î A di B, membentuk range fungsi.

range = f(A)

Relasi

Hubungan/relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:

Himpunan A

Himpunan B

Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
Dimana x bersesuaian dengan a Î A dengan y bersesuaian dengan b Î B.
® Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
® Bila tidak demikian maka a R b

B. SEBUAH RELASI DAPAT DINYATAKAN DENGAN:

Himpunan Pasangan Berurutan (a,b)

Kalimat terbuka P(x,y)

Diagram cartesius ( diagram A x B )

Diagram panah

® bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:

R = {(a,b) ½ a Î A; b Î B; P(a,b) adalah betul}

Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi di dalam A.

contoh :

R = (A,B, P(x,y))
A = {2,3,4}
B = {3,4,5,6}
P(x,y) menyatakan x pembagi y

Himpunan penyelesaian relasi ini adalah

a. Himpunan pasangan berurutan

R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}

RELASI INVERS

Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai

R^-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}

contoh:

A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R^-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A

DOMAIN DAN RANGE

Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R.

Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }

Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R.

Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}

contoh:

A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}

Jenis Pertidaksamaan

A. PERTIDAKSAMAAN LINIER (PANGKAT SATU)

Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x.

Penyelesaian:
Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.

Contoh :

2x - 3 > 5 ® 2x > 5 + 3
ijgeiirjirijrigir j 2x > 8
gehghhejehh2x > 2

gambar

B. PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL (BENTUK AKAR)

Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda akar.

Penyelesaian:

Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang.
(Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas kanan; bila ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas kanan atau sebaliknya).
Kuadratkan kedua ruasnya.
(tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan positif).
Selesaikan pertidaksamaannya ................. (1)
syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non negatif (³ 0)...(2)
(pembicaraan adalah mengenai bilangan riil)
Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2) di atas.

Contoh:

1. Ö(x-2) < style="font-family:Symbol;">® kuadratkan
x - 2 < >® syarat :
x - 2 ³ 0
x ³ 2

2 £ x <>

2. Ö(-x + 3) - Ö(2x + 1) > 0

seimbangkan

Ö(-x+3) > Ö(2x+1)

® kuadratkan
-x + 3 > 2x + 1
3x < style="font-family:Symbol;">® syarat :
-x + 3 ³ 0 ® x £ 3
dan
2x + 1 ³ 0 ® x ³ -1/2

-1/2 £ x <>

C. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT (PANGKAT DUA)

Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya :
ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a ¹ 0.

Penyelesaian:

Jadikan ruas kanan = 0
Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
Tetapkan nilai-nilai nolnya
Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan <>

contoh:

x² + x - 2 > 0
(x + 2) (x - 1) > 0

x < -2 atau x > 1

D. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN

Yaitu pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.

Penyelesaian:

Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan ¹ 0

contoh :

-8 £ x <1

(2x + 7)/(x - 1) £ 1
(2x + 7)/(x - 1) - 1 £ 0
(2x + 7)/(x - 1) - (x - 1)/(x - 1) £ 0 ® (x + 8)/(x - 1) £ 0

syarat : penyebut (x-1) ¹ 0
x ¹ 1

E. PERTIDAKSAMAAN DERAJAT TINGGI (Derajat > 3)

Penyelesaian:

Terlebih dahulu usahakan disederhanakan. Bila ada bentuk kuadrat yang definit (selalu) bernilai positif ( D <> 0) langsung dapat dihilangkan.Tanda pertidaksamaan tetap.
Bila ada bentuk kuadrat yang definit negatif ( D <> dapat dihilangkan asal tanda pertidaksamaannya berubah.
Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Dengan catatan, tanda pada garis bilangan akan berubah jika melewati harga nol yang tunggal (rangkap ganjil) dan tanda akan tetap jika melewati harga nol yang rangkap genap.

contoh:

(x - 1/2) (x² - 3x - 4) (x² - 6x + 9) <><>
(3x² + x + 2)/(x² + 4x - 12) > 0
Bentuk (3X² + X + 2) adalah definit (selalu bernilai) positif, karena:
D = (1)² - 4(3)(2) = -23 dan a = 3
D <> 0
Sehingga (3x² + x + 2) dapat dihilangkan, soal menjadi

(+)/(X² + 4X - 12) > 0 ® (+)/(X + 6) (X - 2) > 0

X < -6 atau X > 2

F. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Yaitu pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak.

Batasan : |x| = x jika x > 0
0 jika x = 0
-x jika x < style="font-family:Symbol;">³ 0

masalah : menghilangkan tanda mutlak.

Penyelesaian:

Untuk a > 0

½x½< a « -a <>

½x½ > a « x < -a atau x > a

½x½ = a « x = ±a

secara umum:

menghilangkan tanda mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas

atau

|x| < style="font-family:Symbol;">® x² < face="Symbol">® x² - a² < face="Symbol">® (x-a)(x+a) < face="Symbol">® -a <>

|x| > a ® x² > a² ® x² - a² > 0 ® (x-a)(x+a) > 0 ® x<-a atau x>a

keterangan:

|x| < -a TM |x| > -a "x

|a/b| < face="Symbol">« |a| <>

Cara Menentukan Penyelesaian Beberapa Garis Bilangan

Andaikan a <>

contoh :

1. UNTUK BATAS TUNGGAL

f(x) = (x - a) (x - b)

f(x) <> 0 untuk x <> b

HAL KHUSUS

Bila koefisien x² adalah (+), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut:

(+) | (-) | (+)

Bila koefisien x² adalah (-), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut :

(-) | (+) | (-)

2. UNTUK BATAS RANGKAP

f(x) = (x - a)² (x - b)	f(x) = (x - a) (x - b)²
(-) \|\| - \| (+) a b	(-) \| - \|\| (+) a b
f(x) <> ¹ a f(x) > 0 untuk x > b	f(x) <> a ; x ¹ b

Ket :

bila melewati batas tunggal (rangkap ganjil) maka tanda pada interval berikutnya berubah, bila melewati batas rangkap genap maka tanda pada interval berikutnya tetap.

Garis Bilangan

Dipergunakan untuk mengetahui nilai (+/-) suatu fungsi pada interval tertentu.

Batas pada garis bilangan didapat dari harga nol fungsi (angka yang menjadikan fungsi bernilai 0), sehingga fungsi bernilai nol pada batas tersebut, dan bernilai (+/-) pada interval lainnya.

Untuk menentukan nilai (+/-) suatu fungsi dalam suatu interval, langkah pertama adalah mencari nilai nolnya sebagai batas interval pada garis bilangan, kemudian substitusi sembarang bilangan yang mewakili suatu interval.

Untuk memudahkan mengetahui daerah (+/-) biasanya dicek angka 0 atau daerah yang diuji adalah daerah paling kanan (bilangan besar sekali) sehingga tanda (+/-) cukup dengan melihat hasil perkalian/pembagian tanda dari koefisien variabel.

Bila hasil substitusi tersebut bernilai positif maka interval di mana bilangan itu berada adalah juga bernilai positif, bila hasil substitusi tersebut bernilai negatif maka interval di mana bilangan itu berada juga bernilai negatif.

Sifat Pertidaksamaan

Antara dua bilangan a dan b terdapat hubungan :

a > b ; a = b atau a <>

a > b ® a - b > 0
a = b ® a - b = 0
a < face="Symbol">® a - b <>prinsip: nilai bilangan harus jelas positif, nol atau negatif
a + b < face="Symbol">® a + b - c <>atau

c-a-b>0

Ditambah/Dikurangi dengan bilangan yang sama

a <> ®	{	a + c <>
		a - c <>

Dikali/Dibagi dengan bilangan positif yang sama

a <>	}	®	{	ac <>
c > 0				a/c <>

Tanda tetap

Dikali/dibagi dengan bilangan negatif yang sama

a <>	}	®	{	ad > bd	*TANDA BERUBAH*
d <>				a/d > b/d

Pangkat Genap

a > 0 ; b > 0	}	®	a² <>*TANDA TETAP*
a <>

a <>	}	®	a² > b² *TANDA BERUBAH*
a <>

Pangkat Ganjil

a < face="Symbol">®	{	a³ <>	® TANDA TETAP
		a⁵ <>5
		a⁷ <>7

Kebalikan

a > 0 ; b > 0	}	®	1/a > 1/b *TANDA BERUBAH*
a <>

a <>	}	®	1/a > 1/b **TANDA *BERUBAH***
a <>

Menyusun Persamaan Kuadrat

KEDUA AKARNYA KUADRAT

Andaikan akar-akarnya X1 dan X2

1. Mengisikan akar-akarnya kedalam bentuk (X - X1)(X - X2) = 0

2. Menggunakan sifat akar X² - (X1+X2)X + X1 . X2 = 0

KEDUA AKARNYA MEMPUNYAI HUBUNGAN DENGAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT YANG DIKETAHUI

Andaikan X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat aX²+bX+c=0 yang diketahui

Hubungan tidak beraturan [y1 = f(X1,X2) dan y2 = f(X1,X2)]

Andaikan y1 dan y2 adalah akar-akar persamaan kuadrat baru.

Langkah:

Cari terlebih dahulu nilai dari (y1 + y2) dan (y1 . y2) yang masing-masing merupakan fungsi dari (X1 + X2) atau (X1 . X2) dimana nilai dari (X1 + X2) dan (X1 . X2) didapat dari persamaan kuadrat yang diketahui.

Persamaan Kuadrat baru : y² - (y1 + y2)y + (y1 . y2) = 0

Hubungan beraturan (hal khusus)

Akar-akar baru

Hubungan

PK Baru

p lebihnya
(X1+p) dan (X2+p)

y = X + p
® X = y-p

a(y-p)² + b(y-p) + c =0

p kurangnya
(X1-p) dan (X2-p)

y = X - p
® X = y + p

a(y+p)² + b(y+p) + c = 0

p kali
pX1 dan pX2

y = pX
® X = y/p

a(y/p)²+b(y/p)+c=0

kebalikannya
1/X1 dan 1/X2

y=1/X
X= 1/y

a(y/p)² + b(1/y) + c = 0
atau
cy²+by+a = 0

kuadratnya
X1² dan X2²

y = X²
® X = Öy

a(Öy)² + b(Öy) + c = 0
atau
a²y + (2ay-b²)y + c² = 0

BenBentuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.

Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau (X1.X2)

1. X1² + X2²	= (X1 + X2)² - 2X1.X2 = (-b/a)² + 2(c/a)
2. X1³ + X2³	= (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2) = (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)
3. X1⁴+ X2⁴	= (X1²+X2²)² -(X1²X2²) = [(X1+X2)² - 2X1X2]² - 2(X1X2)² = [(-b/a)² - 2(c/a)]² - 2(c/a)²
4. X1²X2 + X1X2²	= X1X2(X1+X2) = c/a (-b/c)
5. 1/X1 + 1/X2	= (X1+X2)/X1+X2 = (-b/a)/(c/a) = -b/c
6. X1/X2 + X2/X1	= (X1²+X2²)/X1X2 = ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2
7. (X1-X2)²	= (X1+X2)² - 4X1X2 atau [ÖD/a]² = D/a²
8. X1² - X1²	= (X1+X2)(X1-X2) = (-b/a)(ÖD/a)

Bedakan Istilah

Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²)

dengan

Kuadrat Jumlah (X1+X2)²

Perluasan untuk akar nyata

Kedua akar nyata berlawanan

Maksudnya : X1 = -X2

syarat : D > 0
X1 + X2 = 0 ® b = 0

Ket: X1 + X2 = 0 ® -b/a = 0 ® b = 0
Kedua akar nyata berkebalikan

Maksudnya : X1 = 1/X2

syarat : D ³ 0
X1 . X2 = 1 ® a = c

Ket: X1 . X2 = 1 ® c/a = 1 ® a = c
Kedua akar nyata positif

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0

syarat : D ³ 0
X1 + X2 > 0
X1 . X2 > 0
Kedua akar nyata negatif

maksudnya : X1 <>

syarat: D ³ 0
X1 + X2 <> 0
Kedua akar nyata berlainan tanda

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 <>

syarat : D > 0
X1 . X2 <>Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2 tandanya tidak pasti
Kedua akar rasional

Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk Ö

syarat : D = bentuk kuadrat
D = (0,1,4,9,16,25...)

Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda Ö , sehingga X1 dan X2 rasional

Roda Belajar

Sabtu, 08 Mei 2010

cinta

cinta

Jumat, 07 Mei 2010

Gradien

Hal Khusus

Fungsi Komposisi Dan Invers

Fungsi Invers

Komposisi Fungsi

Jenis Fungsi

Fungsi

Relasi

Jenis Pertidaksamaan

Cara Menentukan Penyelesaian Beberapa Garis Bilangan

Garis Bilangan

Sifat Pertidaksamaan

Menyusun Persamaan Kuadrat

BenBentuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Perluasan untuk akar nyata

Apakah Blog ini berguna ?

Pengikut

Arsip Blog

Mengenai Saya